Chapitre 5 Ecoulements de fluides

Introduction

Un grand nombre d'applications de la thermodynamique font intervenir des fluides en écoulements. On citera quelques exemples:

Un turboréacteur d'avion voit entrer de l'air par l'avant. Cet air subit un certain nombre de transformations (Compression, apport de chaleur dû à la combustion, ... ) puis il est éjecté à l'arrière.
Dans une centrale thermique de production d'électricité (voir le chapitre correspondant), c'est de l'eau qui circule dans les différents appareils afin de produire l'électricité. Par exemple, la turbine qui entraîne l'alternateur est traversée par un flux de vapeur.
Dans une machine frigorifique (voir le chapitre correspondant) un fluide frigorigène (freon) circule à travers les différents éléments de l'appareil.
Dans une usine de transformation chimique, dans une raffinerie de pétrole, ... etc, un grand nombre de flux de fluides traversent de nombreux appareils et subissent des transformations thermodynamiques diverses en fonction des buts recherchés.

Il va donc être nécessaire d'adapter notre formulation précédente du premier principe pour l'adapter à cette situation

Rappelons que dans le chapitre 2 nous avons établi le premier principe dans le cas suivant:

système clos (ou système fermé) c'est à dire pour une quantité de matière constante. Aucune entrée ou sortie de matière du système n'était considérée.
au repos: C'est à dire que la vitesse moyenne de l'ensemble des molécules était nulle. Il n'y avait pas de mouvement d'ensemble du système.

En revanche, nous nous intéresserons ici à des systèmes:

ouverts: c'est à dire qu'on devra considérer les flux de matière entrant et sortant du système
en mouvement du pt de vue macroscopique. La vitesse ne sera pas nulle et il sera donc nécessaire de tenir compte de l'énergie cinétique correspondante en plus de l'énergie interne.

5.1 Notions utiles pour l'étude des écoulements

5.1.1 Débit de fluide

Le débit de fluide est la quantité de matière passant à travers une surface donnée pendant un temps unitaire.

On définira un débit volumique moyen q_v de la façon suivante: Soit une surface traversée par un volume de matière Δ V pendant un temps Δ t.

q_v=

Δ V

Δ t

De la même manière, un débit volumique instantané ( ou débit volumique vrai ) sera défini par passage à la limite par:

q_v=

Les débits volumiques sont assez souvent utilisés en mécanique des fluides incompressibles. Pour ce qui nous concerne, étant donné que la masse volumique peut varier en fonction des conditions thermodynamiques, on préfèrera utiliser des débits massiques:

q_m=

Δ m

Δ t

ou encore le débit vrai:

q_m=

dans la suite on adoptera la notation m^. pour le débit massique.

Régime permanent.

Le régime est permanent lorsque les propriétes en tout point ne dépendent pas du temps (sont constantes). Attention, cela ne signifie pas que les propriétés soient les mêmes en tout point.

Ceci implique en particulier que les débits seront constants; de même d'ailleurs que les flux de chaleur (entre autres).

5.1.2 Propriétés locales

Dans le cas des systèmes fermés au repos nous avons considéré des système homogènes. Dans ce cas, les variables intensives sont identiques en tout point du système. Par exemple, la température et la pression sont les mêmes en tout point du système.

Dans les systèmes en écoulement, en général les variables intensives ne seront pas les mêmes en tout point. Par exemple, la pression (ou la température) seront différentes à l'entrée et à la sortie d'un appareil. Dans ce cas, ce qui pose problème, ce sont les variables extensives qui doivent être définies localement. On considère qu'en chaque point du système on a un équilibre local.

Les propriétés extensives telles que V, U, H, S peuvent alors être rendues intensives de la manière suivante: considérons un petit volume δ V contenant une masse δ m

le volume massique local est alors défini par:

δ V

δ m

(c'est l'inverse de la masse volumique ρ)

de même , on définit

l'énergie interne massique:

δ U

δ m

l'enthalpie massiique:

δ H

δ m

=u+Pv

l'entropie massique:

δ S

δ m

l'énergie cinétique massique:

e_c=

δ E_c

δ m

V²

5.1.3 Volume de contrôle

Pour étudier un système ouvert, il est assez commode de définir un volume de contrôle qui permet de fixer les idées:

Définition: Un Volume de contrôle est un volume délimité par une surface fictive, fermée, au travers de laquelle à lieu l'écoulement. La frontière du volume de contrôle peut êre mobile mais on supposera qu'il n'y a pas de variation d'énergie cinétique ni potentielle pour le contour du volume de contrôle.

Figure 5.1: Volume de contrôle

Par exemple, le volume de contrôle sera délimité par la surface fermée constituée par les parois d'une machine et les sections d'entrée et de sortie du fluide.

Le système sera constitué de la matière contenue dans ce volume. Il s'agit d'un système ouvert dans lequel la matière peut entrer et/ou sortir.

5.2 Travail de transvasement - Travail utile.

5.2.1 Cas général

Il s'agit du travail des forces de pression à l'entrée et à la sortie du volume de contrôle. Dans la section d'entrée, les forces de pressions poussent la matière à l'intérieur du volume (on s'attend donc à un travail positif selon nos conventions de signe); dans la section de sortie, le fluide extérieur exerce un travail qui résiste à la sortie du fluide. (on s'attend donc à un travail négatif dans ce cas)

Considérons une masse δ m_e entrant dans le volume pendant le temps dt. Le travail des forces de pression peut s'écrire

δ W_e=−P_edV=−P_e

⎛
⎝

−v_eδ m_e

⎞
⎠

=P_ev_eδ m_e

où P_e et v_e sont respectivement la pression et le volume massique dans la section d'entrée. En effet, le volume balayé dV est négatif ici ce qui reste conforme à notre convention de signe. Par ailleurs, v_e est essentiellement une quantité positive et pour rester conforme à notre convention de signe, on doit considérer que toute mase entrant dans le système est positive soit δ m_e>0.

De même, si on considère une masse δ m_s sortant du système dans une section de sortie pendant le temps dt, on pourra calculer la travail des forces de pression extérieures comme :

δ W_s=−P_sdV=−P_s

⎛
⎝

−v_sδ m_s

⎞
⎠

=P_sv_sδ m_s

ici ce travail est négatif car le volume balayé dV est ici négatif et la masse δ m sortante est considérée comme négative.

au total, le travail de transvasement sera la somme des travaux des forces de pression dans toutes les sections d'entrée et de sortie du volume de contrôle:

W_t=

W_e+

W_s

Travail utile.

par définition, le travail utile est le travail effectivement récupérable:

W_u=W−W_t

en effet, le travail de transvasement est utile pour faire circulerle fluide mais il n'est généralement pas utilisable dans le cas d'une machine motrice. Le travail utile est généralement un travail qui met en mouvement des pièces mécaniques comme dans une turbine ou bien (plus rarement) un travail qui déforme le volume de contrôle.

5.2.2 Cas particulier: régime permanent

On se limitera au cas où seules une entrée et une sortie de matière sont présentes.

Pendant le temps dt la masse δ m_e entre dans le système alors que la masse δ m_s en sort pendant le même temps. puisque nous sommes en régime permanent, on a: δ m=δ m_e=−δ m_s. Le travail des forces de pression s'écrira alors:

δ W_t=δ W_e+δ W_s=

⎛
⎝

P_ev_e−P_sv_s

⎞
⎠

δ m

On définit le travail massique w comme le travail par unité de masse transférée de l'entrée vers la sortie soit : w=δ W/δ m

Le travail massique de transvasement sera donc égal à:

w_t=P_ev_e−P_sv_s

Travail utile

Le travail massique utile w_u sera égal ici à: w_u=w−w_u où w est le travail massique total.

5.3 Application du premier principe dans un cas simple

Il s'agit du cas le plus courant où on a un régime permanent à travers une machine disposant d'une entrée et d'une sortie uniquement. Il y a lieu ici de tenir compte de l' énergie cinétique autant que de l'énergie interne.

Figure 5.2: Cas simple. Une entrée et une sortie. Régime permanent

Pour appliquer le premier principe à un tel système, on considère que l'énergie interne du volume de contrôle ne varie pas. Dans ces conditions, la somme algébrique des énergies entrantes et sortantes doit être nulle ce qui donne pendant le temps dt :

δ m_s

⎛
⎜
⎜
⎝

u_s+

V_s²

⎞
⎟
⎟
⎠

+δ m_e

⎛
⎜
⎜
⎝

u_e+

V_e²

⎞
⎟
⎟
⎠

+δ W+δ Q=0

où δ W et δ Q sont respectivement le travail et la quantité de chaleurs échangés avec le milieu extérieur et où V est la vitesse.

Ici on a encore −δ m_s=δ m_e=δ m. Ce qui donne

δ m

⎛
⎜
⎜
⎝

−

⎛
⎜
⎜
⎝

u_s+

V_s²

⎞
⎟
⎟
⎠

⎛
⎜
⎜
⎝

u_e+

V_e²

⎞
⎟
⎟
⎠

+w+q

⎞
⎟
⎟
⎠

où

⎛
⎜
⎜
⎝

u_s+

V_s²

⎞
⎟
⎟
⎠

−

⎛
⎜
⎜
⎝

u_e+

V_e²

⎞
⎟
⎟
⎠

=w+q

où w=δ W/δ m et q=δ Q/δ m sont respectivement le travail et la quantité de chaleur massiques c'est à dire le travail et la quantité de chaleur par unité de masse transférée (par exemple par kg de matière transférée. On met en évidence le travail utile en le distinguant du travail de transvasement ce qui donne:

⎛
⎜
⎜
⎝

u_s+

V_s²

⎞
⎟
⎟
⎠

−

⎛
⎜
⎜
⎝

u_e+

V_e²

⎞
⎟
⎟
⎠

=w_u+w_t+q

⎛
⎜
⎜
⎝

u_s+

V_s²

⎞
⎟
⎟
⎠

−

⎛
⎜
⎜
⎝

u_e1+

V_e²

⎞
⎟
⎟
⎠

=w_u+P_ev_e−P_sv_s+q

⎛
⎜
⎜
⎝

u_s+P_sv_s+

V_s²

⎞
⎟
⎟
⎠

−

⎛
⎜
⎜
⎝

u_e+P_ev_e+

V_e²

⎞
⎟
⎟
⎠

=w_u+q

L'Expression du premier principe est donc finalement dans ce cas:

⎛
⎜
⎜
⎝

h_s+

V_s²

⎞
⎟
⎟
⎠

−

⎛
⎜
⎜
⎝

h_e+

V_e²

⎞
⎟
⎟
⎠

=w_u+q

On définit quelquefois sous le nom de dynalpie la grandeur suivante: h^*=h+V²/2 ce qui permet d'exprimer le premier principe sous la forme condensée suivante:

h_s^*−h_e^*=w_u+q

Remarque

La variation d'énergie est ici évaluée entre la sortie et l'entrée de la machine étudiée et non plus entre 2 états successifs d'un même système matériel fermé.

Puissances :

Pour exprimer le premier principe en termes de puissance, il suffit de diviser par dt l'équation établie pour cet intervale de temps. Ce qui donne:

⎛
⎜
⎜
⎝

h_s+

V_s²

⎞
⎟
⎟
⎠

−

⎛
⎜
⎜
⎝

h_e+

V_e²

⎞
⎟
⎟
⎠

⎛
⎝

w_u+q

⎞
⎠

où W_u^. et Q^. sont respectivement la puissance mécanique utile et la puissance calorifique.

5.4 Généralisation

On peut généraliser en introduisant :

Plusieurs entrées, plusieurs sorties
Un régime non permanent ce qui implique que la masse et l'énergie interne contenues dans le volume de contrôle peuvent varier.
Une énergie potentielle due à un autre champ de force. Il peut s'agir par exemple de l'énegie de pesanteur E_p=mgz où g est l'accelaration de la pesanteur terrestre et z la cote.

En étendant le raisonnement ci dessus, on écrira que la variation d'énergie interne du contenu du volume de contrôle est égale à la somme algébrique des énergies entrantes (c'est à dire que comme toujours, dans cette somme, on comptera positivement la matière et l'énergie entrante tandis que la matière et l'énergie sortantes seront comptées négativement. On obtient alors:

Formule générale

dU_vc

=Σ

h_i^*+

avec cette fois ci: h^*=h+V²/2+gz qui généralise la dynalpie.

Remarques:

En général le terme de gravitation est négligeable pour les problèmes de thermodynamique.
Les sommes sont étendues à toutes les entrées et toutes les sorties du volume de contrôle,
m_i^. et h_i^* sont les débits et dynalpies correspondant à chaque entrée et sortie.
notez que m_i^. est positif pour une entrée et négatif pour une sortie.
L'idée générale qui conduit à cette équation est la suivante: L'énergie accumulée dans le volume de contrôle est égale à la somme des énergies entrantes diminuée de la somme des énergies sortantes que ce soit sous forme de travail, de chaleur ou sous forme d'énergie apportée par une masse entrante ou emportée par une masse sortante.
En régime permanent, on aura dU_vc/dt=0 et on retrouve le cas du paragraphe précédent.