1 Machine frigorifique au dioxyde de carbone (CO₂):

1. Le point D correspond à l’entrée du détendeur ou à la sortie du condenseur. Il s’agit donc d’un liquide saturé à la température de 10  °C. On le placera donc sur la courbe d’ébullition (courbe de saturation côté gauche) à 10°C. Pour obtenir les valeurs d’enthalpie et d’entropie massiques, puisqu’il s’agit de liquide saturé, on utilisera les tables de saturation et on prendra les valeurs pour le liquide à 10°C. Soit h_D = 225, 73  kJ/kg et s_D = 1, 0884  kJ/kg.K
2. Le point B correspond à la vapeur saturée sortant de l’évaporateur à la température de  − 30  °C. Le point sera donc situé sur la courbe de rosée (courbe de saturation côté vapeur) à  − 30  °C. De même, puisque la vapeur est saturée, on utilisera la table de saturation et on prendra les valeurs correspondant à la vapeur à  − 30  °C. Soit h_B = 442, 42  kJ/kg et s_B = 2, 0207  kJ.K.kg.
3. Le point C correspond à une vapeur surchauffée sortant du compresseur. La pression est la même que celle du point D car l’évolution dans le condenseur est isobare. La température est donnée. Le point se situera à l’intersection de l’isobare P = 45, 022  bar et l’isotherme T = 65  °C. Les valeurs seront prises sur la table de la vapeur surchauffée sur l’isobare P = 45, 022  bar. Ce qui donne: h_C = 505, 16  kJ/kg et s_C = 2, 0529  kJ/Kg.K
4. Le point A est situé sur le palier de vaporisation (horizontal) à  − 30  °C et à la verticale du point D puisque la détente est isenthalpique. (voir diagramme)
5. Le point A correspond à un mélange liquide vapeur que l’on supposera à l’équilibre. Le titre de vapeur est donné par: x_A = (h_A − h’)/(h" − h’) où h’ et h" sont respectivement l’enthalpie massique du liquide saturé et de la vapeur saturée à  − 30  °C soit: h’ = 133, 34  kJ/kg et h" = 436, 82  kJ/kg. La détente étant isenthalpique, on a: h_A = h_D ce qui donne après calcul: x_A = 0, 304 soit 30, 4  % .
6. On en déduit l’entropie massique au point A: s_A = s’ + x_A(s" − s’) avec s’ et s" respectivement, l’entropie massique du liquide saturé et de la vapeur saturée à  − 30  °C. Soit s’ = 0, 74982 et s" = 1, 9980  kJ/Kg.K. Ce qui donne finalement:s_A = 1, 1298  kJ/K.kg.
7. L’évolution dans le compresseur n’est pas isentropique car l’entropie en sortie du compresseur (point C) n’est pas égale à celle du fluide en entrée du compresseur (point B). Remarque: Le deuxième principe implique que l’entropie doit augmenter si l’évolution est adiabatique, ce qui est bien le cas ici.
8. La puissance frigorifique est la puissance calorifique extraite de la source froide qui est ici matérialisée par le flux d’air soufflé sur l’évaporateur. Appliquons le premier principe à cet écoulement d’air. On peut négliger la variation d’énergie cinétique de ce flux d’air. Par ailleurs, l’air ne subit aucun travail utile à son passage dans l’évaporateur. Il reste donc: Q̇_air = ṁ_airΔh_air = ṁ_airc_{p − air}(ΔT_air) = 4, 42⋅1000( − 25 − ( − 18)) =  − 30 940  W soit  − 30, 94  kW. Le résultat est négatif car il s’agit d’une puissance perdue par l’air. La puissance frigorifique sera donc de 30, 94  kW.
9. La puissance absorbée par le fluide frigorigène dans l’évaporateur est égale à Q̇_f =  − Q̇_air si l’on fait l’hypothèse d’un échangeur sans pertes vers le milieu extérieur. L’application du premier principe à l’écoulement dans l’évaporateur se réduit également pour les mêmes raisons que ci-dessus à: Q̇_f = ṁ_f(h_B − h_A)d’où l’on déduit: ṁ_f = (Q̇_f)/(h_B − h_A) = 0, 143  kg/s.
10. L’application du premier principe à l’écoulement ayant lieu à travers le compresseur donne: Ẇ = ṁ_f(h_C − h_B). En effet, on peut ici négliger encore la variation d’énergie cinétique et on a Q̇ = 0 puisque la transformation est supposée adiabatique. Le calcul donne: Ẇ = 8, 958  kW
11. L’échangeur situé entre les 2 étages fait office de condenseur pour l’étage basse température et d’évaporateur pour le cycle haute température. Si l’on suppose que cet échangeur est bien adiabatique (absence d’échange de chaleur avec le milieu extérieur), la puissance calorifique perdue par le fluide de l’étage basse température est égale au signe près à la puissance absorbée par le fluide de l’étage haute température Q̇_fsup =  − Q̇_c. En appliquant le premier principe à l’écoulement du fluide basse température (ici le CO₂), en l’absence de travail mécanique utile et de variation d’énergie cinétique, on obtient: Q̇_c = m_ḟ(h_D − h_C) =  − 39, 90  kW. La puissance frigorifique nécessaire pour l’étage supérieur sera donc de Q̇_fsup = 39, 90  kW

2 Humidification

1. La pression de saturation de l’eau à 20  °C est donnée par la table : P_s(20  °C) = 0, 023393  bar. On en déduit la pression partielle de la vapeur d’eau dans le mélange d’air humide entrant: P_v1 = φ₁P_s(T₁) = 0, 3*0, 023393 = 0, 0070179  bar.
   L’humidité absolue est donnée par: η₁ = (M_e)/(M_a)(P_v1)/(P − P_v1) où M_e et M_a sont respectivement la masse molaire de l’eau et de l’air sec et P la pression totale. Pour les calculs, on prendra (M_e)/(M_a) = (18.015)/(28.97) = 0, 622, ce qui donne: η₁ = 0, 0043959 kilogrammes d’eau par kilogramme d’air sec.
2. L’enthalpie d’air humide est donnée par: h = c_pa(T − T₀) + η[c_pv(T − T₀) + L_v] où c_pa et c_pv sont respectivement les chaleurs massiques de l’air sec et de la vapeur d’eau, L_v est la chaleur latente de vaporisation de l’eau à la température T₀ et T₀ est une température de référence. L’enthalpie de l’eau liquide ainsi que celle de l’air à la température de référence sont fixées à la valeur zéro. On a c_pa = 0, 24  kcal/kg.K , c_pv = 0, 46  kcal.K^− 1kg^− 1 et L_v(O °C) = 597  kcal/kg. Si on prend T₀ = 0 °C comme température de référence, on peut simplifier l’écriture en: h₁ = c_pa.t₁ + η₁(c_pvt₁ + L_v) où t sera la température exprimée en °C. Le calcul donne h₁ = 7, 465  kcal/kg soit 31, 24  kJ/kg d'air sec
3. De même qu’en 1, la pression partielle est donnée par P_v2 = φ₂P_s(T₂) = 0, 914⋅0, 024882 = 0, 022742  bar et l’humidité absolue par: η₂ = (M_e)/(M_a)(P_v2)/(P − P_v2) = 0, 0144748
4. Comme en 2, l’enthalpie de l’unité d’air humide est donnée par: h₂ = c_pa.t₂ + η₂(c_pvt₂ + L_v) = 13, 82  kcal/kg a.s. soit: h₂ = 57.84  kJ/kg a.s.
5. L’enthalpie massique de la vapeur d’eau injectée est donnée par h_v = (h₂ − h₁)/(η₂ − η₁) soit: h_v = 2639, 36  kJ/kg. La pente est tracée sur le diagramme. Cette valeur correspond à l’enthalpie massique d’une vapeur d’eau saturée sous pression atmosphérique, c’est à dire à environ 100°C.
6. Le débit de vapeur d’eau injectée peut s’écrire: Δṁ_e = ṁ_e2 − ṁ_e1 = η₂ṁ_a − η₁ṁ_a = ṁ_a(η₂ − η₁) où ṁ_a est le débit d’air sec et où ṁ_e1 et ṁ_e2 sont respectivement les débits d’eau entrant et sortant. On en déduit le débit d’air sec: ṁ_a = (Δṁ_e)/((η₂ − η₁)) soit: ṁ_a = 0, 09701 kg ⁄ s ou encore: 349, 24 kg ⁄ h.

Exercice 1: Tracé du cycle sur le diagramme enthalpique du CO2

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Exercice 2: Tracé des points sur le diagramme psychrométrique